Função do 1º grau
Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva
Publicado em: 13/09/2020 - 15:30
Publicado em: 13/09/2020 - 15:30
Conceitos iniciais
Representação gráfica
raiz da função
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Conceitos iniciais
Uma função do 1o. grau pode ser definida como uma função \(f\left ( x \right )=ax+b\), com \(a\in \mathbb{R}\), \(b\in \mathbb{R}\) e \(a\neq 0\), definida para todo \(x\) real. Na função do 1o. grau \(f\left ( x \right )=ax+b\), o termo \(a\) é chamado de coeficiente de \(x\), o termo \(b\) é chamado de termo constante, e a incógnita da função é representada pela letra \(x\).
EXEMPLO 1: FUNÇÕES DO 1o. GRAU
EXEMPLO 2: PROBLEMA
Supondo que um motorista de táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada (valor fixo) e R$ 0,50 por quilômetro rodado (valor variável), pede-se para determinar o valor de uma corrida relativa a um percurso de 25 quilômetros.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 2
A função que determina o valor de uma corrida é dada por: \(f\left ( x \right )=5,00+0,50x\). Dessa forma, uma corrida de 25 quilômetros terá o seguinte valor:
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=5,00+0,50x \\ \\ &f\left ( 25 \right )=5,00+0,50\times 25 \\ \\ &f\left ( 25 \right )=5,00+12,50 \\ \\ &f\left ( 25 \right )=R$\ 17,50\end{align*}\]
EXEMPLO 1: FUNÇÕES DO 1o. GRAU
- \(f\left ( x \right )=-5x+2\), onde \(a=-5\) e \(b=2\);
- \(f\left ( x \right )=7x\), onde \(a=7\) e \(b=0\);
- \(f\left ( x \right )=-\frac{1}{4}+\frac{x}{3}\), onde \(a=\frac{1}{3}\) e \(b=-\frac{1}{4}\).
EXEMPLO 2: PROBLEMA
Supondo que um motorista de táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada (valor fixo) e R$ 0,50 por quilômetro rodado (valor variável), pede-se para determinar o valor de uma corrida relativa a um percurso de 25 quilômetros.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 2
A função que determina o valor de uma corrida é dada por: \(f\left ( x \right )=5,00+0,50x\). Dessa forma, uma corrida de 25 quilômetros terá o seguinte valor:
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=5,00+0,50x \\ \\ &f\left ( 25 \right )=5,00+0,50\times 25 \\ \\ &f\left ( 25 \right )=5,00+12,50 \\ \\ &f\left ( 25 \right )=R$\ 17,50\end{align*}\]
representação gráfica
Todas as funções do 1o. grau, \(y=ax+b\), com \(a\neq 0\), são representadas graficamente por uma reta oblíqua aos eixos \(Ox\) e \(Oy\). Dessa forma, o seu gráfico pode ser feito com a obtenção de dois pontos.
EXEMPLO 3: GRÁFICO
Traçar o gráfico da função \(f\left ( x \right )=2x-2\).
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 3
Como o gráfico de uma função do 1o. grau é uma reta, precisamos obter dois de seus pontos, marcar eles no gráfico e ligá-los. Dessa forma:
EXEMPLO 3: GRÁFICO
Traçar o gráfico da função \(f\left ( x \right )=2x-2\).
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 3
Como o gráfico de uma função do 1o. grau é uma reta, precisamos obter dois de seus pontos, marcar eles no gráfico e ligá-los. Dessa forma:
Para \(x=0\) |
Para \(y=0\) |
\[\begin{align*}&y=2x-2 \\ \\ &y=2\times 0 - 2 \\ \\ &y=0-2 \\ \\ &y=-2\end{align*}\] |
\[\begin{align*}&y=2x-2 \\ \\ &0=2x-2 \\ \\ &2=2x \\ \\ &x=\frac{2}{2}\ \\ \\ &x=1\end{align*}\] |
Ponto: \(\left ( 0, -2 \right )\) |
Ponto: \(\left ( 1, 0 \right )\) |
CONSIDERAÇÕES:
O coeficiente de \(x\), representado pelo termo \(a\), é chamado de coeficiente angular, e de acordo com o valor assumido por \(a\) a reta terá uma inclinação diferente em relação ao eixo \(Ox\). Já o termo constante, \(b\), é chamado de coeficiente linear, ou seja, para \(x=0\), o valor de \(b\) indicará a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo \(Oy\).
CONSIDERAÇÕES:
O coeficiente de \(x\), representado pelo termo \(a\), é chamado de coeficiente angular, e de acordo com o valor assumido por \(a\) a reta terá uma inclinação diferente em relação ao eixo \(Ox\). Já o termo constante, \(b\), é chamado de coeficiente linear, ou seja, para \(x=0\), o valor de \(b\) indicará a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo \(Oy\).
Raiz da função
A raiz (ou zero) da função do 1o. grau \(f\left ( x \right )=ax+b\), com \(a\neq 0\), e o número real \(x\) tal que \(f\left ( x \right )=0\). Dessa forma, temos:
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=ax+b \\ \\ &f\left ( x \right)=0 \\ \\ &ax+b=0 \\ \\ &ax=-b \\ \\ &x=-\frac{b}{a}\end{align*}\]
EXEMPLO 4: RAIZ DA FUNÇÃO
Obter a raiz da função \(f\left ( x \right )=6x+12\).
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 4
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=0 \\ \\ &6x+12=0 \\ \\ &6x=-12 \\ \\ &x=-\frac{12}{6} \\ \\ &x=-2\end{align*}\]
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=ax+b \\ \\ &f\left ( x \right)=0 \\ \\ &ax+b=0 \\ \\ &ax=-b \\ \\ &x=-\frac{b}{a}\end{align*}\]
EXEMPLO 4: RAIZ DA FUNÇÃO
Obter a raiz da função \(f\left ( x \right )=6x+12\).
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 4
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=0 \\ \\ &6x+12=0 \\ \\ &6x=-12 \\ \\ &x=-\frac{12}{6} \\ \\ &x=-2\end{align*}\]
Função crescente e decrescente
Dada uma função do 1o. grau \(f\left ( x \right )=ax+b\), com \(a\neq 0\), dizemos que a mesma é crescente quando, ao atribuímos valores cada vez maiores para \(x\), os valores encontrados para \(y\) também aumentam, e decrescente quando, ao atribuímos valores cada vez maiores para \(x\), os valores encontrados para \(y\) diminuem.
EXEMPLO 5: FUNÇÃO CRESCENTE
Considerando a função do 1o. grau \(y=4x+1\), quando atribuímos valores de \(x\) maiores, os resultados encontrados para \(y\) crescem. Observe os resultados apresentados na tabela abaixo para alguns valores atribuídos para \(x\), e logo na sequência observe seu gráfico:
EXEMPLO 5: FUNÇÃO CRESCENTE
Considerando a função do 1o. grau \(y=4x+1\), quando atribuímos valores de \(x\) maiores, os resultados encontrados para \(y\) crescem. Observe os resultados apresentados na tabela abaixo para alguns valores atribuídos para \(x\), e logo na sequência observe seu gráfico:
\(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(y\) |
\(-7\) |
\(-3\) |
\(1\) |
\(5\) |
\(9\) |
\(13\) |
EXEMPLO 6: FUNÇÃO DECRESCENTE
Considerando a função do 1o. grau \(y=-2x+1\), quando atribuímos valores de \(x\) maiores, os resultados encontrados para \(y\) decrescem. Observe os resultados apresentados na tabela abaixo para alguns valores atribuídos para \(x\), e logo na sequência, observe seu gráfico:
\(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(y\) |
\(5\) |
\(3\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(-3\) |
\(-5\) |
CONSIDERAÇÕES:
Quando o \(a\) é positivo, ou seja, \(a> 0\), a função do 1o. grau é crescente. Já no caso do \(a\) ser negativo, ou seja, \(a< 0\), a função do 1o. grau é decrescente.
Estudo de sinal
Quando estudamos o sinal de uma função do 1o. grau \(f\left ( x \right )=ax+b\), com \(a\neq 0\), queremos determinar os valores de \(x\) para os quais \(y\) é positivo e os valores de \(x\) para os quais \(y\) é negativo.
FUNÇÃO CRESCENTE:
No caso de uma função crescente (\(a>0\)), temos:
FUNÇÃO CRESCENTE:
No caso de uma função crescente (\(a>0\)), temos:
- \(x>-\frac{b}{a}\Rightarrow y>0\): Valores de \(y\) positivos para os valores de \(x\) maiores do que a raiz da função
- \(x=-\frac{b}{a}\Rightarrow y=0\): Valor de \(y\) igual a zero para o valor de \(x\) correspondente a raiz da função
- \(x<-\frac{b}{a}\Rightarrow y<0\): Valores de \(y\) negativos para os valores de \(x\) menores do que a raiz da função
FUNÇÃO DECRESCENTE:
Já para uma função decrescente (\(a<0\)), temos:
- \(x>-\frac{b}{a}\Rightarrow y<0\): Valores de \(y\) negativos para os valores de \(x\) maiores do que a raiz da função
- \(x=-\frac{b}{a}\Rightarrow y=0\): Valor de \(y\) igual a zero para o valor de \(x\) correspondente a raiz da função
- \(x<-\frac{b}{a}\Rightarrow y>0\): Valores de \(y\) positivos para os valores de \(x\) menores do que a raiz da função
NOTAS:
As figuras utilizadas nesta seção foram retiradas do site Só Matemática - referência: SÓ MATEMÁTICA. Função do 1o grau. 2020. Acesso em: 10 set. 2020. Disponível em: <https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php>.
determinando a função a partir de seus pontos
Dados dois pontos de uma função do 1o. grau \(f\left ( x \right )=ax+b\), com \(a\neq 0\), podemos determinar a função do 1o. grau, dentre outras formas, através dos seguintes passos:
EXEMPLO 7: DETERMINANDO A FUNÇÃO DO 1o. GRAU
Sabendo que os pontos \(\left ( 0, 1.000 \right )\) e \(\left ( 6, 100 \right )\) pertencem a uma função do 1o. grau, pede-se para determinar a função.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 7
Passo 1: Achando o coeficiente angular:
\[\begin{align*}&a=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &a=\frac{100-1.000}{6-0} \\ \\ &a=\frac{-900}{6} \\ \\ &a=-150\end{align*}\]
Passo 2: Achando o coeficiente linear (para resolução, o ponto considerado foi \(\left ( 0, 1.000 \right )\)):
\[\begin{align*}&y=ax+b \\ \\ &1.000=-150\times 0+b \\ \\ &1.000=0+b \\ \\ &b=1.000\end{align*}\]
Passo 3: Determinando a função do 1o. grau:
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=ax+b \\ \\ &f\left ( x \right )=-150x+1.000\end{align*}\]
- Determinar o coeficiente angular pela fórmula \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\);
- Determinar o coeficiente linear, substituindo um dos pontos mais o coeficiente angular descoberto no passo 1 na equação \(y=ax+b\);
- Determinar a função do 1o. grau, substituindo o coeficiente angular (calculado em 1) e o coeficiente linear (calculado em 2) na função do 1o. grau \(f\left ( x \right )=ax+b\).
EXEMPLO 7: DETERMINANDO A FUNÇÃO DO 1o. GRAU
Sabendo que os pontos \(\left ( 0, 1.000 \right )\) e \(\left ( 6, 100 \right )\) pertencem a uma função do 1o. grau, pede-se para determinar a função.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 7
Passo 1: Achando o coeficiente angular:
\[\begin{align*}&a=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &a=\frac{100-1.000}{6-0} \\ \\ &a=\frac{-900}{6} \\ \\ &a=-150\end{align*}\]
Passo 2: Achando o coeficiente linear (para resolução, o ponto considerado foi \(\left ( 0, 1.000 \right )\)):
\[\begin{align*}&y=ax+b \\ \\ &1.000=-150\times 0+b \\ \\ &1.000=0+b \\ \\ &b=1.000\end{align*}\]
Passo 3: Determinando a função do 1o. grau:
\[\begin{align*}&f\left ( x \right )=ax+b \\ \\ &f\left ( x \right )=-150x+1.000\end{align*}\]
funções custo, receita e lucro do 1o. grau
As funções custo, receita e lucro do 1o. grau, podem ser representadas respectivamente pelas seguintes fórmulas:
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( x \right )=C_{f}+C_{v}\left ( x \right ) \\ \\ &R\left ( x \right )=px \\ \\ &L\left ( x \right )=R\left ( x \right ) - C\left ( x \right )\end{align*}\]
Onde:
EXEMPLO 8: OBTENDO A FUNÇÃO CUSTO TOTAL
O custo fixo para a fabricação de calculadoras é $ 100.000,00 e o custo variável por unidade produzida é $ $ 10,00. Com base nos dados, pede-se para determinar: (a) A função custo total; (b) Qual o custo total para a fabricação de 100 calculadoras.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 8
(a) Obtendo a função custo total:
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( x \right )=C_{f}+C_{v}\left ( x \right ) \\ \\ &C_{t}\left ( x \right )=100.000+10\left ( x \right )\end{align*}\]
(b) Custo total para a fabricação de 100 unidades:
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( x \right )=100.000+10\left ( x \right ) \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=100.000+10\left ( 100 \right ) \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=100.000+1.000 \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=$\ 101.000,00\end{align*}\]
EXEMPLO 9: PONTO DE NIVELAMENTO
Supondo que a função custo total de produção de um produto possa ser expresso pela função \(C_{t}\left ( x \right )=500.000+10.000x\) e que a receita total obtida com a venda desse produto possa ser expressa pela função \(R\left ( x \right )=15.000x\), pede-se para: (a) Obter o ponto de nivelamento; (b) Traçar a função custo total e receita total em um único gráfico.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 9
(a) O ponto de nivelamento pode ser obtido igualando a função \(L\left ( x \right )=0\), ou igualando a função \(R\left ( x \right )=C_{t}\left ( x \right )\). Dessa forma, o ponto de nivelamento irá indicar a quantidade que deve ser produzida e vendida para que o valor obtido com a receita seja igual ao valor gasto com o custo de produção:
\[\begin{align*}&R\left ( x \right )=C_{t}\left ( x \right ) \\ \\ &15.000x=500.000+10.000x \\ \\ &15.000x-10.000x=500.000 \\ \\ &5.000x=500.000 \\ \\ &x=\frac{500.000}{5.000} \\ \\ &x=100\ unidades\end{align*}\]
Agora, vamos determinar o valor da receita total para a venda de 100 unidades de produto (perceba que o valor descoberto será igual ao valor do custo total):
\[\begin{align*}&R\left ( x \right )=15.000x \\ \\ &R\left ( 100 \right )=15.000\times 100 \\ \\ &R\left ( 100 \right )=$\ 1.500.000,00\end{align*}\]
Dessa forma, o ponto de nivelamento é \(\left ( 100, 1.500.000 \right )\).
(b) Para determinar o gráfico, é necessário obter dois pontos para cada função, e depois, colocar os pontos no plano cartesiano e montar o gráfico, conforme segue:
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( x \right )=C_{f}+C_{v}\left ( x \right ) \\ \\ &R\left ( x \right )=px \\ \\ &L\left ( x \right )=R\left ( x \right ) - C\left ( x \right )\end{align*}\]
Onde:
- \(C_{t}\left ( x \right )\): custo total;
- \(C_{f}\): custo fixo;
- \(C_{v}\left ( x \right )\): custo variável;
- \(R\left ( x \right )\): receita;
- \(p\): preço do bem ou serviço;
- \(x\): quantidade vendida do bem ou serviço;
- \(L\left ( x \right )\): lucro.
EXEMPLO 8: OBTENDO A FUNÇÃO CUSTO TOTAL
O custo fixo para a fabricação de calculadoras é $ 100.000,00 e o custo variável por unidade produzida é $ $ 10,00. Com base nos dados, pede-se para determinar: (a) A função custo total; (b) Qual o custo total para a fabricação de 100 calculadoras.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 8
(a) Obtendo a função custo total:
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( x \right )=C_{f}+C_{v}\left ( x \right ) \\ \\ &C_{t}\left ( x \right )=100.000+10\left ( x \right )\end{align*}\]
(b) Custo total para a fabricação de 100 unidades:
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( x \right )=100.000+10\left ( x \right ) \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=100.000+10\left ( 100 \right ) \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=100.000+1.000 \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=$\ 101.000,00\end{align*}\]
EXEMPLO 9: PONTO DE NIVELAMENTO
Supondo que a função custo total de produção de um produto possa ser expresso pela função \(C_{t}\left ( x \right )=500.000+10.000x\) e que a receita total obtida com a venda desse produto possa ser expressa pela função \(R\left ( x \right )=15.000x\), pede-se para: (a) Obter o ponto de nivelamento; (b) Traçar a função custo total e receita total em um único gráfico.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 9
(a) O ponto de nivelamento pode ser obtido igualando a função \(L\left ( x \right )=0\), ou igualando a função \(R\left ( x \right )=C_{t}\left ( x \right )\). Dessa forma, o ponto de nivelamento irá indicar a quantidade que deve ser produzida e vendida para que o valor obtido com a receita seja igual ao valor gasto com o custo de produção:
\[\begin{align*}&R\left ( x \right )=C_{t}\left ( x \right ) \\ \\ &15.000x=500.000+10.000x \\ \\ &15.000x-10.000x=500.000 \\ \\ &5.000x=500.000 \\ \\ &x=\frac{500.000}{5.000} \\ \\ &x=100\ unidades\end{align*}\]
Agora, vamos determinar o valor da receita total para a venda de 100 unidades de produto (perceba que o valor descoberto será igual ao valor do custo total):
\[\begin{align*}&R\left ( x \right )=15.000x \\ \\ &R\left ( 100 \right )=15.000\times 100 \\ \\ &R\left ( 100 \right )=$\ 1.500.000,00\end{align*}\]
Dessa forma, o ponto de nivelamento é \(\left ( 100, 1.500.000 \right )\).
(b) Para determinar o gráfico, é necessário obter dois pontos para cada função, e depois, colocar os pontos no plano cartesiano e montar o gráfico, conforme segue:
\(x\) |
\(R\left ( x \right )=15.000x\) |
\(C_{t}\left ( x \right )=500.000+10.000x\) |
\(0\) |
\[\begin{align*}&R\left ( 0 \right )=15.000\times 0 \\ \\ &R\left ( 0 \right )=$\ 0,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 0, 0 \right )\) |
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( 0 \right )=500.000+10.000\times 0 \\ \\ &C_{t}\left ( 0 \right )=500.000+0 \\ \\ &C_{t}\left ( 0 \right )=$\ 500.000,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 0, 500.000 \right )\) |
\(100\) |
\[\begin{align*}&R\left ( 100 \right )=15.000\times 100 \\ \\ &R\left ( 100 \right )=$\ 1.500.000,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 100, 1.500.000 \right )\) |
\[\begin{align*}&C_{t}\left ( 100 \right )=500.000+10.000\times 100 \\ \\ &C_{t}\left ( 100 \right )=500.000+1.000.000 \\ \\ &C_{t}\left ( 0 \right )=$\ 1.500.000,00\end{align*}\] Ponto: \(\left (100, 1.500.000 \right )\) |
Funções de demanda e oferta do 1o. grau
Tanto a função demanda quanto a função oferta do 1o. grau podem ser representadas pela equação \(p=ax+b\), onde, \(p\) representa o preço e \(x\) a quantidade ofertada ou demandada do bem ou serviço avaliado.
Em geral, a representação gráfica de uma curva de demanda é decrescente, dado que quanto maior o preço, menor a quantidade demandada, e por essa razão, o coeficiente angular da função demanda (\(a\) para a grande maioria dos casos é negativo. Já a representação gráfica de uma curva de oferta é crescente, dado que quanto maior o preço, maior a sua quantidade demandada, e dessa forma, o coeficiente angular da função oferta (\a\) para a grande maioria dos casos é positivo.
EXEMPLO 10: FUNÇÃO DEMANDA
Supondo que se o preço do sorvete de casquinha for de $ 9,00, a quantidade demandada será 10 unidades por dia e, se o preço for de $ 6,00, a quantidade demandada será 16 unidades por dia. O gráfico abaixo apresenta a quantidade demandada em função do preço. Com base nos dados, pede-se para obter a função demanda por sorvete.
Em geral, a representação gráfica de uma curva de demanda é decrescente, dado que quanto maior o preço, menor a quantidade demandada, e por essa razão, o coeficiente angular da função demanda (\(a\) para a grande maioria dos casos é negativo. Já a representação gráfica de uma curva de oferta é crescente, dado que quanto maior o preço, maior a sua quantidade demandada, e dessa forma, o coeficiente angular da função oferta (\a\) para a grande maioria dos casos é positivo.
EXEMPLO 10: FUNÇÃO DEMANDA
Supondo que se o preço do sorvete de casquinha for de $ 9,00, a quantidade demandada será 10 unidades por dia e, se o preço for de $ 6,00, a quantidade demandada será 16 unidades por dia. O gráfico abaixo apresenta a quantidade demandada em função do preço. Com base nos dados, pede-se para obter a função demanda por sorvete.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 10
Primeiramente, vamos calcular o coeficiente angular:
\[\begin{align*}&m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &m=\frac{6-9}{16-10} \\ \\ &m=\frac{-3}{6} \\ \\ &m=-0,5\end{align*}\]
Agora vamos calcular o coeficiente linear:
\[\begin{align*}&y=ax+b \\ \\ &6=-0,5\times 16+b \\ \\ &6=-8+b \\ \\ &6+8=b \\ \\ &b=14\end{align*}\]
Dessa forma, a função que representa a demanda por sorvete é: \(p=-0,5x+14\).
EXEMPLO 11: EQUILÍBRIO DE MERCADO
Supondo que a função demanda de mercado por um determinado produto seja dada por \(p=100-6x\) e a função oferta seja dada por \(p=50+4x\). De acordo com os dados do problema, pede-se para: (a) Determinar o ponto de equilíbrio de mercado; (b) Traçar um gráfico com as funções de demanda e oferta.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 11
(a) O ponto de equilíbrio é dado no ponto onde a quantidade demandada e igual a quantidade ofertada:
\[\begin{align*}&p_{qd}=p_{qo} \\ \\ &100-6x=50+4x \\ \\ &100-50=4x+6x \\ \\ &50=10x \\ \\ &x=\frac{50}{10} \\ \\ & x=5\ unidades\end{align*}\]
Agora, vamos determinar o valor do preço no ponto de equilíbrio:
\[\begin{align*}&p=50+4x \\ \\ &p=50+4\times 5 \\ \\ &p=50+20 \\ \\ &p=$\ 70,00\end{align*}\]
Dessa forma, o ponto de nivelamento é \(\left ( 5, 70 \right )\).
(b) Para determinar o gráfico, é necessário obter dois pontos para cada função, e depois, colocar os pontos no plano cartesiano e montar o gráfico, conforme segue:
\(x\) |
Demanda: \(p=100-6x\) |
Oferta: \(p=50+4x\) |
\(0\) |
\[\begin{align*}&p=100-6\times 0 \\ \\ &p=100-0 \\ \\ &p=$\ 100,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 0, 100 \right )\) |
\[\begin{align*}&p=50+4\times 0 \\ \\ &p=50+0 \\ \\ &p=$\ 50,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 0, 50 \right )\) |
\(5\) |
\[\begin{align*}&p=100-6\times 5 \\ \\ &p=100-30 \\ \\ &p=$\ 70,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 5, 70 \right )\) |
\[\begin{align*}&p=50+4\times 5 \\ \\ &p=50+20 \\ \\ &p=$\ 70,00\end{align*}\] Ponto: \(\left ( 5, 70 \right )\) |
Funções consumo e poupança do 1o. grau
Vamos admitir que a função consumo (de 1o. grau) possa ser expressa pela seguinte fórmula, \(C=C_{o}+my\). A partir da função consumo, podemos admitir que a parcela de renda não gasta na forma de consumo é chamada de poupança, conforme:
\[\begin{align*}&S=y-C \\ \\ &S=y-\left ( C_{o}+my \right ) \\ \\ &S=y-C_{o}-my \\ \\ &S=-C_{o} +y\left ( 1-m \right )\end{align*}\]
onde:
Com base neste entendimento, vamos fazer alguns exemplos para demonstrar a utilização das fórmulas colocadas.
EXEMPLO 12: DETERMINANDO AS FUNÇÕES CONSUMO E POUPANÇA
Uma família tem uma determinada renda mensal. Sabe-se que o consumo autônomo (gasto fixo) desta família é de $ 500,00 por mês, e que 70% da renda restante é destinada para o consumo de outros bens e serviços. Com base nos dados, determinar: (a) A função consumo; (b) A função poupança; (c) Qual a renda mínima para que a poupança não seja negativa.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 12
a) Como a função consumo é dado pelo consumo autônomo mais a propensão marginal a consumir vezes a renda disponível, temos:
\[\begin{align*}&C=C_{o}+my \\ \\ &C=500+0,7y \end{align*}\]
b) Como a poupança é dada pela renda disponível menos o consumo, temos:
\[\begin{align*}&S=y-C \\ \\ &S=y-\left ( 500+0,7y \right ) \\ \\ &S=y-500-0,7y \\ \\ &S=0,3y-500 \end{align*}\]
c) Nesse caso a poupança deve ser maior do que zero, assim:
\[\begin{align*}&S>0 \\ \\ &0,3y-500>0 \\ \\ &0,3y>500 \\ \\ &y>\frac{500}{0,3} \\ \\ &y>R$\ 1.666,67 \end{align*}\]
EXEMPLO 13: OBTENDO A FUNÇÃO CONSUMO
Num país, quando a renda é $ 6.000,00, o consumo é $ 5.600,00 e, quando a renda é $ 7.000,00, o consumo é $ 6.200,00. Admitindo a função consumo como sendo do 1o. grau, obtenha essa função.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 13
O problema apresenta os seguintes pontos \( \left ( 6.000, 5.600 \right)\) e \( \left ( 7.000, 6.200 \right)\). A partir destes pontos, podemos calcular o coeficiente angular da função (propensão marginal a consumir):
\[\begin{align*}&m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &m=\frac{6.200-5.600}{7.000-6.000} \\ \\ &m=\frac{600}{1.000} \\ \\ &m=0,6 \end{align*}\]
Como a função consumo é dada por \(C=C_{o}+my\), e utilizando um dos pontos do problema \( \left ( 6.000, 5.600 \right)\), temos:
\[\begin{align*}&5.600=C_{o}+0,6\times 6.000 \\ \\ &5.600=C_{o}+3.600 \\ \\ &5.600-3.600=C_{o} \\ \\ &C_{o}=R$\ 2.000 \end{align*}\]
Dessa forma, a função consumo do 1o. grau deste país é \(C=2.000+0,6y\).
\[\begin{align*}&S=y-C \\ \\ &S=y-\left ( C_{o}+my \right ) \\ \\ &S=y-C_{o}-my \\ \\ &S=-C_{o} +y\left ( 1-m \right )\end{align*}\]
onde:
- \(S\): poupança;
- \(y\): renda disponível;
- \(C\): consumo;
- \(C_{o}\): consumo autônomo;
- \(m\): coeficiente angular \(m\) (propensão marginal a consumir);
- \(\left ( m-1 \right )\): coeficiente angular \(\left ( m-1 \right )\) (propensão marginal a poupar).
Com base neste entendimento, vamos fazer alguns exemplos para demonstrar a utilização das fórmulas colocadas.
EXEMPLO 12: DETERMINANDO AS FUNÇÕES CONSUMO E POUPANÇA
Uma família tem uma determinada renda mensal. Sabe-se que o consumo autônomo (gasto fixo) desta família é de $ 500,00 por mês, e que 70% da renda restante é destinada para o consumo de outros bens e serviços. Com base nos dados, determinar: (a) A função consumo; (b) A função poupança; (c) Qual a renda mínima para que a poupança não seja negativa.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 12
a) Como a função consumo é dado pelo consumo autônomo mais a propensão marginal a consumir vezes a renda disponível, temos:
\[\begin{align*}&C=C_{o}+my \\ \\ &C=500+0,7y \end{align*}\]
b) Como a poupança é dada pela renda disponível menos o consumo, temos:
\[\begin{align*}&S=y-C \\ \\ &S=y-\left ( 500+0,7y \right ) \\ \\ &S=y-500-0,7y \\ \\ &S=0,3y-500 \end{align*}\]
c) Nesse caso a poupança deve ser maior do que zero, assim:
\[\begin{align*}&S>0 \\ \\ &0,3y-500>0 \\ \\ &0,3y>500 \\ \\ &y>\frac{500}{0,3} \\ \\ &y>R$\ 1.666,67 \end{align*}\]
EXEMPLO 13: OBTENDO A FUNÇÃO CONSUMO
Num país, quando a renda é $ 6.000,00, o consumo é $ 5.600,00 e, quando a renda é $ 7.000,00, o consumo é $ 6.200,00. Admitindo a função consumo como sendo do 1o. grau, obtenha essa função.
RESOLUÇÃO - EXEMPLO 13
O problema apresenta os seguintes pontos \( \left ( 6.000, 5.600 \right)\) e \( \left ( 7.000, 6.200 \right)\). A partir destes pontos, podemos calcular o coeficiente angular da função (propensão marginal a consumir):
\[\begin{align*}&m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &m=\frac{6.200-5.600}{7.000-6.000} \\ \\ &m=\frac{600}{1.000} \\ \\ &m=0,6 \end{align*}\]
Como a função consumo é dada por \(C=C_{o}+my\), e utilizando um dos pontos do problema \( \left ( 6.000, 5.600 \right)\), temos:
\[\begin{align*}&5.600=C_{o}+0,6\times 6.000 \\ \\ &5.600=C_{o}+3.600 \\ \\ &5.600-3.600=C_{o} \\ \\ &C_{o}=R$\ 2.000 \end{align*}\]
Dessa forma, a função consumo do 1o. grau deste país é \(C=2.000+0,6y\).