Matemática Financeira: juros compostos
Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva
Publicado em: 15/09/2020 - 20:55
Publicado em: 15/09/2020 - 20:55
CONCEITO
Juros compostos, capitalização composta ou ainda capitalização exponencial se trata do tipo de capitalização onde a taxa de juros considerada na operação incide sobre o valor do capital com o acréscimo dos juros do período anterior. O famoso juros sobre juros. A fórmula básica usada nesta operação é:
\[M=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n}\]
onde:
\(M=\) valor do montante
\(C=\) valor do capital
\(i=\) taxa de juros
\(n=\) prazo da operação
Juros compostos, capitalização composta ou ainda capitalização exponencial se trata do tipo de capitalização onde a taxa de juros considerada na operação incide sobre o valor do capital com o acréscimo dos juros do período anterior. O famoso juros sobre juros. A fórmula básica usada nesta operação é:
\[M=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n}\]
onde:
\(M=\) valor do montante
\(C=\) valor do capital
\(i=\) taxa de juros
\(n=\) prazo da operação
CALCULANDO O MONTANTE - EXEMPLO
Bia foi ao banco e pegou um empréstimo de $ 680,00. O empréstimo deve ser quitado daqui a 8 meses e a taxa de juros compostos cobrada na operação foi de 2,1% ao mês. Determinar: (a) O valor do montante; (b) O valor dos juros pago.
Letra a)
\[\begin{align*}M&=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ M&=680\cdot \left ( 1+0,021 \right )^{8} \\ \\ M&=$\ 803,00\end{align*}\]
Letra b)
\[\begin{align*}M=C+J& \\ \\ J&=M-C \\ \\ J&=803-680 \\ \\ J&=$\ 123,00\end{align*}\]
Bia foi ao banco e pegou um empréstimo de $ 680,00. O empréstimo deve ser quitado daqui a 8 meses e a taxa de juros compostos cobrada na operação foi de 2,1% ao mês. Determinar: (a) O valor do montante; (b) O valor dos juros pago.
Letra a)
\[\begin{align*}M&=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ M&=680\cdot \left ( 1+0,021 \right )^{8} \\ \\ M&=$\ 803,00\end{align*}\]
Letra b)
\[\begin{align*}M=C+J& \\ \\ J&=M-C \\ \\ J&=803-680 \\ \\ J&=$\ 123,00\end{align*}\]
CALCULANDO O CAPITAL - EXEMPLO
Daqui a 5 meses, Maria Júlia vai precisar de $ 3.000,00 para viajar com a família. Sabendo que uma aplicação financeira rende juros compostos de 1,05% ao mês, quanto Maria Júlia deve aplicar para conseguir resgatar o valor almejado?
\[\begin{align*}M=C&\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ C&=\frac{M}{\left ( 1+i \right )^{n}} \\ \\ C&=\frac{3.000}{\left ( 1+0,0105 \right )^{5}} \\ \\ C&=$\ 2.847,34\end{align*}\]
Daqui a 5 meses, Maria Júlia vai precisar de $ 3.000,00 para viajar com a família. Sabendo que uma aplicação financeira rende juros compostos de 1,05% ao mês, quanto Maria Júlia deve aplicar para conseguir resgatar o valor almejado?
\[\begin{align*}M=C&\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ C&=\frac{M}{\left ( 1+i \right )^{n}} \\ \\ C&=\frac{3.000}{\left ( 1+0,0105 \right )^{5}} \\ \\ C&=$\ 2.847,34\end{align*}\]
CALCULANDO A TAXA DE JUROS - EXEMPLO
Cristina aplicou $ 300,00 e após 6 meses resgatou $ 480,00. Determinar a taxa de juros composta da operação.
\[\begin{align*}&M=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ &480=300\cdot \left ( 1+i \right )^{6} \\ \\ &\left ( 1+i \right )^{6}=\frac{480}{300} \\ \\ &\left [ \left ( 1+i \right )^{6} \right ]^{\frac{1}{6}}=\left ( \frac{480}{300} \right )^{\frac{1}{6}} \\ \\ &1+i=\left ( \frac{480}{300} \right )^{\frac{1}{6}} \\ \\ &i=\left ( \frac{480}{300} \right )^{\frac{1}{6}}-1 \\ \\ &i=0,0815\ ou\ 8,15\%\ a.m.\end{align*}\]
Cristina aplicou $ 300,00 e após 6 meses resgatou $ 480,00. Determinar a taxa de juros composta da operação.
\[\begin{align*}&M=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ &480=300\cdot \left ( 1+i \right )^{6} \\ \\ &\left ( 1+i \right )^{6}=\frac{480}{300} \\ \\ &\left [ \left ( 1+i \right )^{6} \right ]^{\frac{1}{6}}=\left ( \frac{480}{300} \right )^{\frac{1}{6}} \\ \\ &1+i=\left ( \frac{480}{300} \right )^{\frac{1}{6}} \\ \\ &i=\left ( \frac{480}{300} \right )^{\frac{1}{6}}-1 \\ \\ &i=0,0815\ ou\ 8,15\%\ a.m.\end{align*}\]
CALCULANDO O PRAZO - EXEMPLO
Carolina pegou emprestado $ 300,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Na data do vencimento, o valor pago foi de $ 399,30. Determinar o prazo do empréstimo.
\[\begin{align*}&M=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ &399,30=300\cdot \left ( 1+0,1 \right )^{n} \\ \\ &\left ( 1,1 \right )^{n}=\frac{399,30}{300} \\ \\ &n\cdot ln\left ( 1,1 \right )=ln\left ( \frac{399,30}{300} \right ) \\ \\ &n=\frac{ln\left ( \frac{399,30}{300} \right )}{ln\left ( 1,1 \right )} \\ \\ &n=3\ meses\end{align*}\]
Carolina pegou emprestado $ 300,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Na data do vencimento, o valor pago foi de $ 399,30. Determinar o prazo do empréstimo.
\[\begin{align*}&M=C\cdot \left ( 1+i \right )^{n} \\ \\ &399,30=300\cdot \left ( 1+0,1 \right )^{n} \\ \\ &\left ( 1,1 \right )^{n}=\frac{399,30}{300} \\ \\ &n\cdot ln\left ( 1,1 \right )=ln\left ( \frac{399,30}{300} \right ) \\ \\ &n=\frac{ln\left ( \frac{399,30}{300} \right )}{ln\left ( 1,1 \right )} \\ \\ &n=3\ meses\end{align*}\]
TAXA EQUIVALENTE EM JUROS COMPOSTOS
Quando a taxa de juros e o período da operação não estiverem na mesma unidade de tempo, como por exemplo uma taxa de juros de 2% ao mês para um prazo de 2 semestres, será necessário antes de qualquer coisa converter a taxa de juros ou o período da operação.
Para converter a taxa de juros, devemos calcular a taxa equivalente do período. Em juros compostos, duas taxa são ditas equivalentes quando um determinado capital, aplicada a uma taxa de juros durante um período de tempo igual (porém com períodos de capitalização diferentes), retorna um montante ou valor de juros igual no final da operação. A fórmula para a conversão é:
\[i_{q}=\left ( 1+i_{t} \right )^{\frac{q}{t}}-1\]
onde:
\(iq=\) taxa de juros que eu quero
\(it=\) taxa de juros que eu tenho
\(q=\) período de tempo que eu quero
\(t=\) período de tempo que eu tenho
Para demonstração da fórmula, suponha a seguinte situação: Qual a taxa de juros trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 5% a.m.?
\[\begin{align*}i_{q}&=\left ( 1+i_{t} \right )^{\frac{q}{t}}-1 \\ \\ i_{q}&=\left ( 1+0,05 \right )^{\frac{3}{1}}-1 \\ \\ i_{q}&=0,1576\ ou\ 15,76\%\ a.t.\end{align*}\]
Quando a taxa de juros e o período da operação não estiverem na mesma unidade de tempo, como por exemplo uma taxa de juros de 2% ao mês para um prazo de 2 semestres, será necessário antes de qualquer coisa converter a taxa de juros ou o período da operação.
Para converter a taxa de juros, devemos calcular a taxa equivalente do período. Em juros compostos, duas taxa são ditas equivalentes quando um determinado capital, aplicada a uma taxa de juros durante um período de tempo igual (porém com períodos de capitalização diferentes), retorna um montante ou valor de juros igual no final da operação. A fórmula para a conversão é:
\[i_{q}=\left ( 1+i_{t} \right )^{\frac{q}{t}}-1\]
onde:
\(iq=\) taxa de juros que eu quero
\(it=\) taxa de juros que eu tenho
\(q=\) período de tempo que eu quero
\(t=\) período de tempo que eu tenho
Para demonstração da fórmula, suponha a seguinte situação: Qual a taxa de juros trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 5% a.m.?
\[\begin{align*}i_{q}&=\left ( 1+i_{t} \right )^{\frac{q}{t}}-1 \\ \\ i_{q}&=\left ( 1+0,05 \right )^{\frac{3}{1}}-1 \\ \\ i_{q}&=0,1576\ ou\ 15,76\%\ a.t.\end{align*}\]
This work by Diego Fernandes Emiliano Silva is licensed under CC BY-NC-SA 4.0